Toán học là ngành nghiên cứu trừu tượng về những chủ đề như: lượng (các
con số),
[2] cấu trúc,
[3] không gian, và
sự thay đổi.
[4][5][6] Các
nhà toán học và
triết học có nhiều quan điểm khác nhau về
định nghĩa và phạm vi của toán học.
[7][8]Các
nhà toán học tìm kiếm các
mô thức[9][10] và sử dụng chúng để tạo ra những
giả thuyết mới. Họ lý giải tính đúng đắn hay sai lầm của các giả thuyết bằng các
chứng minh toán học. Khi những cấu trúc toán học là mô hình tốt cho hiện thực, lúc đó suy luận toán học có thể cung cấp sự hiểu biết sâu sắc hay những tiên đoán về
tự nhiên. Thông qua việc sử dụng những phương pháp trừu tượng và
lôgic, toán học đã phát triển từ việc đếm, tính toán,
đo lường, và nghiên cứu có hệ thống những hình dạng và
chuyển động của các đối tượng vật lý. Con người đã ứng dụng toán học trong đời sống từ xa xưa. Việc tìm lời giải cho những bài toán có thể mất hàng năm, hay thậm chí hàng thế kỷ.
[11]Những
lập luận chặt chẽ xuất hiện trước tiên trong nền toán học
Hy Lạp cổ đại, đáng chú ý nhất là trong tác phẩm
Cơ sở của
Euclid. Kể từ những công trình tiên phong của
Giuseppe Peano (
1858–
1932),
David Hilbert (
1862–
1943), và của những
nhà toán học khác trong
thế kỷ 19 về các hệ thống tiên đề, nghiên cứu toán học trở thành việc thiết lập
chân lý thông qua suy luận lôgic chặt chẽ từ những
tiên đề và
định nghĩa thích hợp. Toán học phát triển tương đối chậm cho tới thời
Phục hưng, khi sự tương tác giữa những phát minh toán học với những phát kiến khoa học mới đã dẫn đến sự gia tăng nhanh chóng những phát minh toán học vẫn tiếp tục cho đến ngày nay.
[12]Toán học được sử dụng trên khắp thế giới như một công cụ thiết yếu trong nhiều lĩnh vực, bao gồm
khoa học,
kỹ thuật,
y học, và
tài chính.
Toán học ứng dụng, một nhánh toán học liên quan đến việc ứng dụng kiến thức toán học vào những lĩnh vực khác, thúc đẩy và sử dụng những phát minh toán học mới, từ đó đã dẫn đến việc phát triển nên những ngành toán hoàn toàn mới, chẳng hạn như
thống kê và
lý thuyết trò chơi. Các nhà toán học cũng dành thời gian cho
toán học thuần túy, hay toán học vị toán học. Không có biên giới rõ ràng giữa toán học thuần túy và toán học ứng dụng, và những ứng dụng thực tiễn thường được khám phá từ những gì ban đầu được xem là
toán học thuần túy.
[13]