Trong
toán học,
song ánh, hoặc
hàm song ánh, là một
ánh xạ f từ
tập X vào tập Y thỏa mãn tính chất, đối với mỗi y thuộc Y, có duy nhất một x thuộc X sao cho f(x) = y.Nói cách khác, f là một song ánh nếu và chỉ nếu nó là
tương ứng một-một giữa hai tập hợp; tức là nó vừa là
đơn ánh và vừa là
toàn ánh.Ví dụ, xét hàm f xác định trên tập hợp
số nguyên Z {\displaystyle \mathbb {Z} } vào Z {\displaystyle \mathbb {Z} } , được định nghĩa f(x) = x + 1. Ví dụ khác, đối với mỗi cặp số thực (x,y) hàm f xác định bởi f(x,y) = (x + y, x − y) là một
song ánhVí dụ khác, hàm f(x)=ax2+bx+c (a khác 0) xác định trên tập
số thực R {\displaystyle \mathbb {R} } vào R {\displaystyle \mathbb {R} } nhưng đây không phải song ánh vì nó không
đơn ánh và cũng không
toàn ánh. Với mọi y< min f(x) nếu a>0 hoặc y> max f(x) nếu a<0 thì không tồn tại x để y=f(x) do đó f(x) không
toàn ánh. Với x1 khác x2 thì f(x1) vẫn có thể bằng f(x2) trong trường hợp x1<-b/a<x2 và x1+x2=-b/a vì khi đó 2 điểm (x1,f(x1)) và (x2,f(x2)) đối xứng qua đường thẳng x=-b/a do đó f(x) không
đơn ánh.Hàm song ánh đôi khi còn gọi là
hoán vị.Tập hợp tất cả các song ánh từ tập X vào tập Y được ký hiệu là X ↔ Y. Thông thường tập các hoán vị của tập X được ký hiệu là X!.Song ánh đóng nhiều vai trò quan trọng trong toán học, như nó dùng để định nghĩa
đẳng cấu (và những khái niệm liên quan như
phép đồng phôi và
vi phôi),
nhóm hoán vị,
ánh xạ xạ ảnh, và nhiều định nghĩa khác.