Trong
toán học,
nhóm (group) là
tập hợp các
phần tử cùng với
phép toán hai ngôi kết hợp hai phần tử bất kỳ của tập hợp thành một phần tử thứ ba thỏa mãn bốn điều kiện gọi là
tiên đề nhóm, lần lượt là
tính đóng,
kết hợp,
phần tử đơn vị và
tính khả nghịch. Một trong những ví dụ quen thuộc nhất về nhóm đó là tập hợp các
số nguyên cùng với
phép cộng; khi thực hiện cộng hai số nguyên bất kỳ luôn thu được một số nguyên khác. Hình thức trình bày trừu tượng dựa trên tiên đề nhóm, tách biệt nó khỏi bản chất cụ thể của bất kỳ nhóm đặc biệt nào và phép toán trên nhóm, cho phép nhóm bao trùm lên nhiều thực thể với nguồn gốc toán học rất khác nhau trong
đại số trừu tượng và rộng hơn, và có thể giải quyết một cách linh hoạt, trong khi vẫn giữ lại khía cạnh cấu trúc căn bản của chúng. Sự có mặt khắp nơi của nhóm trong nhiều lĩnh vực bên trong và ngoài toán học khiến chúng trở thành nguyên lý tổ chức trung tâm của toán học đương đại.
[1][2]Nhóm chia sẻ mối quan hệ họ hàng cơ bản với khái niệm
đối xứng. Ví dụ,
nhóm đối xứng chứa đựng các đặc điểm đối xứng của một đối tượng
hình học như: nhóm bao gồm tập hợp các phép biến đổi không làm thay đổi đối tượng và các phép toán kết hợp hai phép biến đổi này bằng cách thực hiện từng phép biến đổi một.
Nhóm Lie là những nhóm đối xứng sử dụng trong
Mô hình Chuẩn của
vật lý hạt;
nhóm các điểm được sử dụng để nghiên cứu các hiện tượng đối xứng trong hóa học phân tử; và
nhóm Poincaré dùng để biểu diễn các tính chất đối xứng vật lý trong
thuyết tương đối hẹp.Khái niệm nhóm xuất phát từ nghiên cứu về
phương trình đa thức, bắt đầu từ
Évariste Galois trong thập niên 1830. Sau những đóng góp từ những lĩnh vực khác như
lý thuyết số và hình học, khái niệm nhóm được tổng quát hóa và chính thức trở thành lĩnh vực nghiên cứu trong khoảng thập niên 1870.
Lý thuyết nhóm hiện đại—nhánh toán học sôi động—nghiên cứu các nhóm bằng chính công cụ của chúng.
a[›] Để khám phá nhóm, các nhà toán học phải nêu ra nhiều
khái niệm khác nhau để chia nhóm thành những phần nhỏ hơn, có thể hiểu được dễ hơn như các
nhóm con,
nhóm thương và
nhóm đơn giản. Thêm vào những tính chất trừu tượng của chúng, các nhà lý thuyết nhóm cũng nghiên cứu cách biểu diễn cụ thể một nhóm bằng nhiều cách khác nhau (hay lý thuyết
biểu diễn nhóm), cả từ quan điểm
lý thuyết và quan điểm tính toán thực hành (lý thuyết nhóm tính toán). Lý thuyết phát triển cho
nhóm hữu hạn kết tập với
phân loại nhóm đơn giản hữu hạn được công bố vào năm 1983.
aa[›] Từ giữa thập niên 1980,
lý thuyết nhóm hình học, nghiên cứu các
nhóm sinh hữu hạn như là những đối tượng hình học, đã trở thành lĩnh vực đặc biệt sôi nổi trong lý thuyết nhóm.