Lý thuyết biểu diễn là một nhánh của toán học nghiên cứu các cấu trúc đại số trừu tượng bằng cách biểu diễn các phần tử của chúng dưới dạng biến đổi tuyến tính của các không gian vectơ,[1] cũng như nghiên cứu về mô-đun trên các đối tượng đại số trừu tượng này.[2][3][4][5] Về cơ bản, một biểu diễn cụ thể hoá những cấu trúc đại số trừu tượng bằng cách mô tả các phần tử của chúng bằng ma trận và các toán tử đại số của nó (ví dụ như phép cộng ma trận và phép nhân ma trận). Vì lý thuyết ma trận và toán tử tuyến tính đã được hiểu rõ nên biểu diễn của những cấu trúc trừu tượng hơn thông qua những cấu trúc đại số tuyến tính quen thuộc giúp chắt lọc những tính chất toán học và đôi khi giúp đơn giản hoá những phép tính trên những lý thuyết trừu tượng.Những cấu trúc đại số nằm trong định nghĩa này bao gồm nhóm, đại số kết hợp và đại số Lie. Trong số đó, nổi bật nhất (và đầu tiên trong lịch sử) là lý thuyết biểu diễn nhóm, trong đó các phần tử của 1 nhóm sẽ được biểu diễn bằng các ma trận khả nghịch sao cho toán tử trên nhóm là phép nhân ma trận.[6][7][8]Lý thuyết biểu diễn là một phương pháp hữu ích vì nó đơn giản hoá những bài toán trong đại số trừu tượng thành những vấn đề vốn đã được hiểu rõ, là những bài toán trong đại số tuyến tính.[9] Ngoài ra, không gian vectơ mà một nhóm (ví dụ) trên đó được biểu diễn có thể tổng quát hoá thành vô hạn chiều, và nếu nó là một không gian Hilbert, những phương pháp giải tích toán học cũng có thể được áp dụng vào lý thuyết nhóm.[10][11] Lý thuyết biểu diễn đóng vai trọng quan trọng trong vật lý vì nó mô tả ảnh hưởng của các nhóm đối xứng của 1 hệ vật lý lên nghiệm của các phương trình biểu diễn hệ đó.[12]Lý thuyết biển diễn thâm nhập khắp các lĩnh vực của toán học bởi 2 lý do. Thứ nhất, ứng dụng của lý thuyết biểu diễn rất đa dạng, bên cạnh tác động của nó lên đại số, nó còn:Thứ hai, có rất nhiều hướng tiếp cận lý thuyết biểu diễn. Cùng 1 đối tượng có thể được nghiên cứu bằng nhiều phương pháp từ hình học đại số, lý thuyết mô-đun, lý thuyết số giải tích, hình học vi phân, lý thuyết toán tử, tổ hợp đại số và tô pô.[7]Sự thành công của lý thuyết biểu diễn đã dẫn đến nhiều sự tổng quát hoá. Một trong những kết luận tổng quát nhất là trong lý thuyết phạm trù.[19] Áp dụng lý thuyết biểu diễn, các cấu trúc đại số có thể được xem là một loại phạm trù (category) đặc biệt và các biểu diễn là hàm tử (functor) từ phạm trù của đối tượng đến phạm trù của mô-đun.[8] Định nghĩa này dẫn đến 2 sự tổng quát hoá hiển nhiên: thứ nhất, các cấu trúc đại số có thể được thay thế bởi các phạm trù tổng quát hơn; thứ hai, phạm trù của mô-đun có thể được thay thế bởi những phạm trù khác đã được hiểu rõ hơn.