Trong
toán học,
giả thuyết Riemann, nêu bởi
Bernhard Riemann (
Riemann (1859)), là một
phỏng đoán về
các không điểm phi tầm thường của
hàm zeta Riemann tất cả đều có
phần thực bằng 1/2. Tên gọi này đôi khi cũng có nghĩa tương tự cho một số giả thuyết khác như
giả thuyết Riemann cho các đường cong trên trường hữu hạn.Giả thuyết Riemann hàm ý kết quả về sự phân bố các
số nguyên tố. Cùng với những dạng tổng quát hóa phù hợp, các nhà toán học coi nó là một trong những bài toán quan trọng nhất chưa được giải trong
toán học thuần túy (
Bombieri 2000). Giả thuyết Riemann, cùng với
giả thuyết Goldbach thuộc về
bài toán thứ tám của Hilbert trong danh sách
23 bài toán chưa giải được của
David Hilbert; nó cũng là một trong bảy bài toán của
Giải thưởng Bài toán Thiên niên kỷ do
Viện Toán học Clay khởi xướng.Hàm zeta Riemann ζ(s) là
hàm với đối số s là một
số phức bất kỳ khác 1, và giá trị của hàm cũng là giá trị phức. Các không điểm của hàm (nghiệm) bao gồm tại các số nguyên âm; tức là ζ(s) = 0 khi s nhận các giá trị −2, −4, −6, .... Chúng được gọi là các
không điểm tầm thường. Tuy nhiên, các số nguyên âm không phải là các nghiệm duy nhất của hàm zeta; và những nghiệm này gọi là
không điểm phi tầm thường hay "không điểm không tầm thường". Giả thuyết Riemann đề cập đến vị trí của các không điểm phi tầm thường này, và phát biểu rằng:Do vậy các không điểm phi tầm thường sẽ nằm trên
đường giới hạn chứa các số phức 1/2 + i t, với t là
số thực và i là
đơn vị ảo.Có một vài sách phổ biến về giả thuyết Riemann, như của
Derbyshire (2003),
Rockmore (2005),
Sabbagh (2003),
du Sautoy (2003). Các sách như
Edwards (1974),
Patterson (1988) và
Borwein và đồng nghiệp (2008) đưa ra nội dung toán học của nó, trong khi
Titchmarsh (1986),
Ivić (1985) và
Karatsuba & Voronin (1992) trình bày ở mức khó hơn.