Trong
giải tích phức,
đơn vị ảo, thường viết tắt là ı {\displaystyle \imath } (hay thỉnh thoảng là j hoặc
chữ cái Hy Lạp iota), là
căn bậc hai của
−1.Nó cho phép mở rộng các
số thực R {\displaystyle \mathbb {R} } , thành các
số phức C {\displaystyle \mathbb {C} } . Số này có nhiều định nghĩa, phụ thuộc vào cách mở rộng từ trường số thực ra số phức.Trong
lịch sử toán học, mục tiêu gây dựng số phức là vì có nhiều
phương trình đa thức f ( x ) = 0 {\displaystyle f(x)=0} không có
nghiệm là số thực. Ví dụ x 2 + 1 = 0 {\displaystyle x^{2}+1=0} , vì nếu chúng ta
trừ cả hai vế với
1 thì ta sẽ có: x 2 = − 1 {\displaystyle x^{2}=-1} .Điều này là không thể, vì một
số âm không có căn bậc hai. Nếu đặt một loại số mới là nghiệm của phương trình trên, thì tất cả các phương trình đa thức đều sẽ có nghiệm.Vậy muốn tìm căn bậc hai của một số thực bất kì, ta nhân căn bậc hai của số đối của nó với ı {\displaystyle \imath } : − x × ı = − x × − 1 = − x × ( − 1 ) = x {\displaystyle {\sqrt {-x}}\times \imath ={\sqrt {-x}}\times {\sqrt {-1}}={\sqrt {-x\times (-1)}}={\sqrt {x}}} Ví dụ: 2 × ı = 2 × − 1 = 2 × ( − 1 ) = − 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}\times \imath ={\sqrt {2}}\times {\sqrt {-1}}={\sqrt {2\times (-1)}}={\sqrt {-2}}}