Định lý Cauchy là một định lý trong lý thuyết nhóm được đặt tên theo tên của nhà toán học người Pháp Augustin Louis Cauchy. Định lý này phát biểu rằng nếu G {\displaystyle G} là một nhóm hữu hạn và p {\displaystyle p} là một số nguyên tố chia hết cấp của G {\displaystyle G} (số phần tử trong G {\displaystyle G} ) thì trong G {\displaystyle G} tồn tại một phần tử có cấp p {\displaystyle p} . Tức là trong G {\displaystyle G} tồn tại phần tử x {\displaystyle x} sao cho p {\displaystyle p} là số nguyên dương nhỏ nhất để x p = e {\displaystyle x^{p}=e} , với e {\displaystyle e} là phần tử đơn vị.Định lý này liên quan đến định lý Lagrange, phát biểu rằng cấp của một nhóm con bất kỳ của một nhóm G {\displaystyle G} hữu hạn cho trước đều chia hết cấp của G {\displaystyle G} . Định lý Cauchy chứng tỏ rằng với mọi ước nguyên tố p {\displaystyle p} của cấp của G {\displaystyle G} , tồn tại một nhóm con cyclic của G {\displaystyle G} có cấp p {\displaystyle p} được sinh bởi phần tử đã được nói tới trong định lý Cauchy.Tổng quát hơn định lý Cauchy là định lý Sylow thứ nhất, phát biểu rằng: nếu G {\displaystyle G} là một nhóm hữu hạn và p n {\displaystyle p^{n}} là ước của cấp của G {\displaystyle G} với p {\displaystyle p} nguyên tố thì G {\displaystyle G} có một nhóm con cấp p n {\displaystyle p^{n}} .