Trong toán học, đặc biệt là trong lĩnh vực lý thuyết nhóm hữu hạn, định lý Sylow là một nhóm các định lý được đặt tên theo nhà toán học Na Uy Ludwig Sylow vào năm 1872. Các định lý này đưa ra thông tin chi tiết về số nhóm con có cấp cố định được chứa trong một nhóm hữu hạn cho trước. Các định lý Sylow hình thành một phần cơ bản của lý thuyết nhóm hữu hạn và có ứng dụng rất quan trọng trong việc phân loại nhóm đơn hữu hạn.Với một số nguyên tố p, một p-nhóm con Sylow của một nhóm G là một p-nhóm con cực đại của G, nói cách khác, một nhóm con của G là một p-nhóm (tức là cấp của mọi phần tử trong nhóm con này đều là một lũy thừa của p), và nó không phải là nhóm con thực sự của bất kì p-nhóm con nào khác của G. Tập hợp tất cả các p-nhóm con Sylow với một số nguyên tố p cho trước đôi khi được ký hiệu là S y l p ( G ) {\displaystyle {\mathrm {Syl} }_{p}(G)} .Các định lý Sylow khẳng định một phần ngược lại với định lý Lagrange. Định lý Lagrange phát biểu rằng nếu H là một nhóm con của nhóm hữu hạn G thì cấp của |H| là một ước của cấp của |G|. Với một ước nguyên tố bất kì p của cấp của nhóm hữu hạn G, tồn tại một p-nhóm con Sylow của G. Cấp của p-nhóm con Sylow của một nhóm hữu hạn G bằng p n {\displaystyle p^{n}} , với n là cấp của p trong cấp của G, và mỗi nhóm con bới cấp p n {\displaystyle p^{n}} đều là một p-nhóm con Sylow của G.