Trong toán học,
hình học Diophantos / hình học Diophantine là các nghiên cứu về các điểm của
các đa tạp đại số có tọa độ là các
số nguyên,
số hữu tỷ và khái quát của chúng. Các khái quát này thường là
các trường không
đóng đại số, chẳng hạn như
trường số,
trường hữu hạn,
trường hàm và trường
p -adic (nhưng không phải là
số thực được sử dụng trong
hình học đại số thực). Nó là một nhánh con của
hình học số học và là một cách tiếp cận lý thuyết về
phương trình Diophantos, hình thành các bài toán về các phương trình như vậy với thuật ngữ
hình học đại số.Một phương trình đơn giản tương ứng với một
siêu mặt, và các phương trình Diophantine đồng thời làm phát sinh một
đa tạp đại số V trên K; câu hỏi điển hình là về bản chất của tập hợp V(K) của các điểm trên V với tọa độ trong K và bằng các hàm số
chiều cao, các câu hỏi định lượng về "kích thước" của các lời giải này có thể được đặt ra, cũng như định tính các vấn đề về bất kỳ điểm nào tồn tại, và nếu vậy liệu có một số lượng vô hạn nghiệm hay không. Với cách tiếp cận hình học, việc xem xét các
phương trình đồng nhất và
tọa độ đồng nhất là cơ bản, vì những lý do tương tự mà
hình học chiếu là phương pháp chủ đạo trong hình học đại số. Do đó, các giải pháp số hợp lý là sự cân nhắc chính; nhưng các giải pháp tích phân (ví dụ các điểm mạng tinh thể) có thể được xử lý theo cách tương tự như một
đa tạp affine có thể được xem xét bên trong một giống chiếu có thêm
điểm ở vô cực.Cách tiếp cận chung của hình học Diophantine được minh họa bằng
định lý Faltings (một phỏng đoán của
L. J. Mordell) nói rằng một đường cong đại số C của chi g > 1 so với các số hữu tỷ chỉ có một số hữu hạn các
điểm hữu tỷ. Hệ quả đầu tiên của định lý này có thể là định lý của Hilbert và Hurwitz xử lý trường hợp g = 0. Lý thuyết này bao gồm cả các định lý và nhiều giả thuyết và các câu hỏi mở.