Một
số thập phân vô hạn tuần hoàn là
biểu diễn thập phân của một số có phần thập phân lặp lại (lặp lại giá trị của nó ở các khoảng đều đặn) và phần lặp lại vô hạn không phải là
số không. Có thể chứng minh được rằng một số là
hữu tỉ khi và chỉ khi phần biểu diễn thập phân của nó lặp lại theo chu kỳ hoặc là hữu hạn. Ví dụ, biểu diễn thập phân của ⅓ trở nên lặp lại ngay sau dấu phẩy phân cách thập phân, với số 3 lặp lại mãi, 0.333…. Một ví dụ phức tạp hơn là 3227/555, trong đó phần biểu diễn thập phân trở nên tuần hoàn sau chữ số thứ hai của phần thập phân và lặp lại chuỗi "144" vô hạn: 5.8144144144…. Hiện tại, không có cách viết duy nhất được chấp nhận rộng rãi cho các phần thập phân lặp lại này.Chuỗi số lặp đi lặp lại vô hạn được gọi là phần lặp lại của số này. Nếu phần lặp lại là một số không, biểu diễn thập phân này được gọi là số thập phân hữu hạn chứ không phải là số thập phân lặp lại, vì các số không được bỏ qua trong biểu thức biểu diễn số này. Bất kỳ các số thập phân hữu hạn đều có thể biểu diễn bằng
phân số hệ thập phân, là một phân số với
mẫu số là một
lũy thừa của 10 (chẳng hạn 1.585 = 1585/1000); nó có thể viết thành một
tỷ lệ dưới dạng k/2n5m (chẳng hạn 1.585 = 317/2352). Tuy nhiên, mọi số có diễn đạt thập phân hữu hạn cũng có một cách diễn đạt thay thế thứ hai như là một số thập phân lặp lại với phần lặp lại là vô hạn số 9. Điều này có được bằng cách giảm số cuối cùng đi 1 và nối thêm vô hạn số 9.
1.000... = 0.999… và 1.585000... = 1.584999… là hai ví dụ. (Kiểu thập phân lặp lại này có thể thu được bằng
phép chia số lớn nếu ta sử dụng một dạng biến đổi của thuật toán chia thông thường.)Bất kỳ số nào mà không thể biểu diễn như một
tỷ lệ của hai
số nguyên được gọi là
số vô tỉ. Việc biểu diễn thập phân của chúng không chấm dứt hay lặp lại vô hạn nhưng kéo dài mãi mãi mà không lặp lại thường xuyên. Ví dụ về các số vô tỉ như vậy là
căn bậc hai của 2 và số
pi.