Trong
toán học, các
số vô tỷ là tất cả các
số thực không phải là
số hữu tỷ,
số sau là các số được xây dựng từ các tỷ số (hoặc
phân số) của các
số nguyên. Khi
tỷ lệ độ dài của hai đoạn thẳng là một số vô tỷ, các đoạn thẳng này cũng được mô tả là không thể đo lường được, có nghĩa là chúng không chia sẻ "thước đo" chung, nghĩa là không có độ dài ("số đo") chung, dù là ngắn đến đâu, mà có thể được sử dụng để thể hiện độ dài của cả hai đoạn thẳng đã cho dưới dạng bội số nguyên của cùng một đoạn thẳng đơn vị chung.Các ví dụ về số vô tỉ là tỷ lệ
π của chu vi của vòng tròn với đường kính của nó, số Euler
e, tỷ lệ vàng
φ, và
căn bậc hai của hai;
[1][2][3] trong thực tế, tất cả các căn bậc hai của
số tự nhiên, trừ căn bậc hai của các
số chính phương, đều là các số vô tỉ.Có thể chỉ ra rằng các số vô tỷ, khi được biểu thị trong một hệ thống cơ số (ví dụ như
số thập phân hoặc với bất kỳ cơ số
tự nhiên nào khác), là các chuỗi không chấm dứt, cũng không
lặp lại, nghĩa là không chứa một chuỗi các chữ số, mà có sự lặp lại ở phần đuôi của cách biểu diễn số. Ví dụ: biểu diễn thập phân của số π bắt đầu bằng 3.14159, nhưng không có số chữ số hữu hạn nào có thể đại diện chính xác cho số π, và cũng không có sự lặp lại. Việc chứng minh cho thấy việc mở rộng thập phân của số hữu tỷ phải chấm dứt hoặc lặp lại khác với chứng minh rằng việc mở rộng thập phân chấm dứt hoặc lặp lại phải là một số hữu tỷ, và mặc dù sơ cấp và không dài, cả hai chứng minh đều không đơn giản. Các nhà toán học thường không coi việc thể hiện thập phân là "chấm dứt hoặc lặp lại" là định nghĩa của khái niệm số hữu tỷ.Số vô tỷ cũng có thể được xử lý thông qua
các liên phân số không kết thúc.Như một hệ quả của
chứng minh của Cantor rằng các số thực là
không thể đếm được và các số
hữu tỷ có thể đếm được, theo đó hầu như tất cả các số thực là các số vô tỷ.
[4]