Thực đơn
Quy nạp toán học Ví dụQuy nạp toán học có thể được sử dụng để chứng minh rằng mệnh đề P(n) sau, đúng với tất cả số tự nhiên n.
0 + 1 + 2 + ⋯ + n = n ( n + 1 ) 2 . {\displaystyle 0+1+2+\cdots +n={\frac {n(n+1)}{2}}\,.}P(n) đưa ra một công thức cho tổng các số tự nhiên nhỏ hơn hoặc bằng số n. Cách chứng minh P(n) đúng với mỗi số tự nhiên n như sau.
Bước cơ sở: Chứng minh rằng mệnh đề đúng với n = 0.
Ta có P(0) bằng:
Ở vế trái của phương trình, số duy nhất là 0, và do đó, phía bên tay trái là chỉ đơn giản là bằng 0.
Vế phải của phương trình, 0·(0 + 1)/2 = 0.
Hai vế bằng nhau, nên mệnh đề đúng với n=0. Vì vậy P(0) là đúng.
Bước quy nạp: Chứng minh rằng nếu P ( k ) đúng, P(k+1) cũng đúng. Điều này có thể được thực hiện như sau.
Giả sử P(k) đúng (với một số giá trị k). Sau đó phải chứng minh rằng P(k + 1) cũng đúng:
( 0 + 1 + 2 + ⋯ + k ) + ( k + 1 ) = ( k + 1 ) ( ( k + 1 ) + 1 ) 2 . {\displaystyle (0+1+2+\cdots +k)+(k+1)={\frac {(k+1)((k+1)+1)}{2}}.}Sử dụng giả thuyết quy nạp rằng P(k) đúng, vế trái có thể viết thành:
k ( k + 1 ) 2 + ( k + 1 ) . {\displaystyle {\frac {k(k+1)}{2}}+(k+1)\,.}Có thể biến đổi như sau:
k ( k + 1 ) 2 + ( k + 1 ) = k ( k + 1 ) + 2 ( k + 1 ) 2 = ( k + 1 ) ( k + 2 ) 2 = ( k + 1 ) ( ( k + 1 ) + 1 ) 2 {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {k(k+1)}{2}}+(k+1)&={\frac {k(k+1)+2(k+1)}{2}}\\&={\frac {(k+1)(k+2)}{2}}\\&={\frac {(k+1)((k+1)+1)}{2}}\end{aligned}}}Vì vậy P(k + 1) cũng đúng.
Vì cả bước cơ sở và bước quy nạp đã được thực hiện, mệnh đề P(n) đúng với mọi số tự nhiên n
Thực đơn
Quy nạp toán học Ví dụLiên quan
Quy Quy ước giờ mùa hè Quy Nhơn Quyền Anh Quyền lực phân lập Quy tắc chia hết Quyền Linh Quyền LGBT của các quốc gia, vùng lãnh thổ Quyền riêng tư trên Internet Quyền LGBT ở Hoa KỳTài liệu tham khảo
WikiPedia: Quy nạp toán học http://www.maths.unsw.edu.au/~jim/proofs.html http://www.earlham.edu/~peters/courses/logsys/math... //www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1507856 //dx.doi.org/10.1007%2FBF00327237 //dx.doi.org/10.1007%2FBF00348537 //dx.doi.org/10.1007%2Fs004070000020 //dx.doi.org/10.1086%2F352009 //dx.doi.org/10.1090%2FS0002-9904-1909-01860-9 //dx.doi.org/10.2307%2F2369151 //dx.doi.org/10.2307%2F2972638