Trong môn
hình học,
đường thẳng Euler, được đặt tên theo nhà toán học
Leonhard Euler, là một
đường thẳng được xác định từ bất kỳ
tam giác nào không
đều. Đường thẳng này đi qua các điểm quan trọng trong
tam giác như
trực tâm,
tâm đường tròn ngoại tiếp,
trọng tâm, và tâm của
đường tròn chín điểm.Năm 1765, Euler đã chứng mình rằng trong
tam giác, các điểm như
trực tâm,
tâm đường tròn ngoại tiếp,
trọng tâm, và
tâm đường tròn chín điểm cùng nằm trên một
đường thẳng, ngày nay chúng ta gọi là đường thẳng Euler. Trong
tam giác đều, bốn điểm này trùng nhau, nhưng trong các
tam giác thì không, và chỉ cần hai điểm trong số bốn điểm có thể xác định được đường thẳng Euler. Tâm của
đường tròn chín điểm nằm trên đường thẳng Euler ở trung điểm của
trực tâm và
tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác, và khoảng cách từ
trọng tâm đến
tâm đường tròn ngoại tiếp bằng một nửa khoảng cách từ trọng tâm đến
trực tâm.Các điểm nổi tiếng khác nằm trên đường thẳng Euler được biết đến trong
tam giác bao gồm
điểm de Longchamps,
điểm Schiffler, và
điểm Exeter. Tuy nhiên
tâm đường tròn nội tiếp, bàng tiếp chỉ thuộc đường thẳng Euler trong trường hợp
tam giác cân.Đường thẳng Euler của có vài
bổ đề của riêng nó, và cả đối bổ đề.Cho A , B , C {\displaystyle A,B,C} là tên của ba đỉnh
tam giác bất kỳ, và cho x : y : z {\displaystyle x:y:z} điểm bất kỳ có
tọa độ tam tuyến; hệ thức của đường thẳng Euler là:Một cách hữu hiệu khác để biểu diễn cho đường thẳng Euler là dùng tham số t {\displaystyle t} . Bắt đầu với tâm đường tròn ngoại tiếp (với tọa độ là cos A : cos B : cos C {\displaystyle \cos A:\cos B:\cos C} ) và trực tâm (với tọa độ là sec A : sec B : sec C = cos B cos C : cos C cos A : cos A cos B ) {\displaystyle \sec A:\sec B:\sec C=\cos B\cos C:\cos C\cos A:\cos A\cos B)} , bất cứ điểm này trên đường thẳng Euler có thể được biểu diễn dưới một hệ thức như sauúng mới một giá trị t' nhất định.Ví dụ: