Trong toán học, vi phân là một nhánh con của vi tích phân [1] liên quan đến nghiên cứu về tốc độ thay đổi của hàm số khi biến số thay đổi. Đây là một trong hai nhánh truyền thống của vi tích phân, cái còn lại là tích phân, nghiên cứu về diện tích nằm bên dưới một đường cong.[2]Các đối tượng nghiên cứu chính trong vi phân là đạo hàm của hàm số, các khái niệm liên quan như vi phân hàm số và các ứng dụng của chúng. Đạo hàm của hàm tại một giá trị đầu vào được chọn mô tả tốc độ thay đổi của hàm gần giá trị đầu vào đó. Về mặt hình học, đạo hàm tại một điểm là độ dốc của đường tiếp tuyến với đồ thị của hàm tại điểm đó, với điều kiện là đạo hàm tồn tại và được xác định tại điểm đó. Đối với hàm có giá trị thực của một biến thực duy nhất, đạo hàm của hàm tại một điểm thường xác định xấp xỉ tuyến tính tốt nhất cho hàm tại điểm đó.Phép tính vi phân và phép tính tích phân được kết nối bởi định lý cơ bản của vi tích phân, trong đó nêu rõ vi phân là quá trình ngược lại với tích phân.Vi phân có các ứng dụng cho gần như tất cả các ngành định lượng. Ví dụ, trong vật lý, đạo hàm của sự dịch chuyển của vật chuyển động theo thời gian là vận tốc của vật thể và đạo hàm của vận tốc đối với thời gian là gia tốc. Đạo hàm của động lượng của một cơ thể đối với thời gian bằng với lực tác dụng lên cơ thể; sắp xếp lại tuyên bố phái sinh này dẫn đến phương trình nổi tiếng F = ma liên quan đến định luật chuyển động thứ hai của Newton. Tốc độ phản ứng của một phản ứng hóa học là một đạo hàm. Trong nghiên cứu hoạt động, các công cụ phái sinh xác định các cách hiệu quả nhất để vận chuyển vật liệu và thiết kế nhà máy.Các đạo hàm thường được sử dụng để tìm cực đại và cực tiểu của hàm. Các phương trình liên quan đến đạo hàm được gọi là phương trình vi phân và là cơ bản trong việc mô tả các hiện tượng tự nhiên. Các dẫn xuất và khái quát hóa của chúng xuất hiện trong nhiều lĩnh vực toán học, chẳng hạn như giải tích phức, giải tích hàm, hình học vi phân, lý thuyết đo lường và đại số trừu tượng.