Tích phân là một khái niệm
toán học,và cùng với nghịch đảo của nó
vi phân (differentiation) đóng vai trò là 2 phép tính cơ bản và chủ chốt trong lĩnh vực
giải tích (calculus).Có thể hiểu đơn giản tích phân như là
diện tích hoặc diện tích tổng quát hóa. Giả sử cần tính diện tích một hình phẳng được bao bởi các đoạn thẳng, ta chỉ việc chia hình đó thành các hình nhỏ đơn giản hơn và đã biết cách tính diện tích như
hình tam giác,
hình vuông,
hình thang,
hình chữ nhật... Tiếp theo, xét một hình phức tạp hơn mà nó được bao bởi cả đoạn thẳng lẫn đường cong, ta cũng chia nó thành các hình nhỏ hơn, nhưng bây giờ kết quả có thêm các
hình thang cong. Tích phân giúp ta tính được diện tích của hình thang cong đó.Hoặc giải thích bằng toán học như sau: Cho một
hàm f của một biến thực x và một miền giá trị thực [a, b]. Như vậy một tích phân xác định (definite integral) từ a đến b của f(x), ký hiệu là:được định nghĩa là diện tích của một vùng trong không gian phẳng xy được bao bởi
đồ thị của hàm f, trục hoành, và các đường thẳng x = a và x = b, sao cho các vùng trên trục hoành sẽ được tính vào tổng diện tích, còn dưới trục hoành sẽ bị trừ vào tổng diện tích.Ta gọi a là
cận dưới của tích phân, còn b là
cận trên của tích phân.Cho F(x) là
nguyên hàm của f(x) trong (a, b). Khi đó,
tích phân bất định (indefinite integral) được viết như sau:Mọi định nghĩa tích phân đều phụ thuộc vào lý thuyết
độ đo (measure). Ví dụ,
tích phân Riemann dựa trên
độ đo Jordan, còn
tích phân Lebesgue dựa trên
độ đo Lebesgue. Tích phân Riemann là định nghĩa đơn giản nhất của tích phân và thường xuyên được sử dụng trong
vật lý và
giải tích cơ bản.