Thực đơn
Tích phân Wallis Ứng dụngGiả sử sự tồn tại một hằng số C {\displaystyle C} sao cho:
n ! ∼ C n ( n e ) n {\displaystyle n!\sim C{\sqrt {n}}\,\left({\frac {n}{\mathrm {e} }}\right)^{n}} .Bằng cách thay thế các giai thừa trong biểu thức trên bằng các tích phân Wallis, ta có:
W 2 p = π 2 ( 2 p ) ! ( 2 p p ! ) 2 ∼ π 2 C 2 p ( 2 p e ) 2 p ( 2 p C p ( p e ) p ) 2 = π C 2 p {\displaystyle W_{2p}={\frac {\pi }{2}}{\frac {(2p)!}{\left(2^{p}p!\right)^{2}}}\sim {\frac {\pi }{2}}{\frac {C{\sqrt {2p}}\,\left({\frac {2p}{\mathrm {e} }}\right)^{2p}}{\left(2^{p}C{\sqrt {p}}\,\left({\frac {p}{\mathrm {e} }}\right)^{p}\right)^{2}}}={\frac {\pi }{C{\sqrt {2p}}}}} .So sánh với tiệm cận của tích phân Wallis thu được trước đó, ta có
C = lim p → ∞ π W 2 p 2 p = 2 π {\displaystyle C=\lim _{p\to \infty }{\frac {\pi }{W_{2p}{\sqrt {2p}}}}={\sqrt {2\pi }}} .Do đó, ta suy ra công thức Stirling:
n ! ∼ 2 π n ( n e ) n {\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\,\left({\frac {n}{\mathrm {e} }}\right)^{n}} .Từ W 2 p ∼ W 2 p + 1 {\displaystyle W_{2p}\sim W_{2p+1}} , ta có
lim p → ∞ W 2 p + 1 W 2 p / π 2 = π 2 {\displaystyle \lim _{p\to \infty }{\frac {W_{2p+1}}{W_{2p}/{\frac {\pi }{2}}}}={\frac {\pi }{2}}} .Mặt khác:
W 2 p + 1 W 2 p / π 2 = ∏ k = 1 p 2 k 2 k + 1 ∏ k = 1 p 2 k − 1 2 k = ∏ k = 1 p 4 k 2 4 k 2 − 1 {\displaystyle {\frac {W_{2p+1}}{W_{2p}/{\frac {\pi }{2}}}}={\frac {\prod _{k=1}^{p}{\frac {2k}{2k+1}}}{\prod _{k=1}^{p}{\frac {2k-1}{2k}}}}=\prod _{k=1}^{p}{\frac {4k^{2}}{4k^{2}-1}}} .Ta suy ra công thức tích Wallis:
∏ k = 1 ∞ 4 k 2 4 k 2 − 1 = π 2 {\displaystyle \prod _{k=1}^{\infty }{\frac {4k^{2}}{4k^{2}-1}}={\frac {\pi }{2}}} .Thực đơn
Tích phân Wallis Ứng dụngLiên quan
Tích Tích phân Tích (toán học) Tích phân từng phần Tích phân bội Tích hợp liên tục Tích Giang Tích vô hướng Tích Lan thuộc Anh Tích vectơTài liệu tham khảo
WikiPedia: Tích phân Wallis http://numbers.computation.free.fr/Constants/Misce... http://numbers.computation.free.fr/Constants/Misce...