Nguyên lý cực đại (hoặc cực tiểu) Pontryagin được sử dụng trong lý thuyết điều khiển tối ưu để tìm ra điều khiển tốt nhất có thể dành một hệ thống động học từ trạng thái này sang trạng thái khác, đặc biệt là sự hiện diện của những hạn chế đối với các trạng thái hoặc đầu vào.Nó được hình thành vào năm 1956 bởi nhà toán học người Nga Lev Pontryagin và các sinh viên của ông. Nó là một trường hợp đặc biệt của phương trình Euler-Lagrange về phép tính biến phân.Nguyên lý này được phát biểu, chính thức, đó là điều khiển Hamilton phải có một cực trị trên các điều khiển trong tập tất cả các điều khiển cho phép. Cho dù cực trị đó là cực đại hoặc cực tiểu phụ thuộc cả vào bài toán và dấu quy ước dùng để xác định Hamilton. Quy ước thông thường, mà được sử dụng trong Hamilton, dẫn đến một cực đại do đó nguyên lý cực đại nhưng dấu quy ước sử dụng trong bài viết này làm cho cực trị này trở thành cực tiểu.Nếu   U {\displaystyle {\mathcal {U}}}  là tập các giá trị của các điều khiển cho phép thì nguyên lý này phát biểu rằng điều khiển tối ưu u ∗ {\displaystyle u^{*}}  phải thỏa mãn:trong đó  x ∗ ∈ C 1 [ t 0 , t f ] {\displaystyle x^{*}\in C^{1}[t_{0},t_{f}]}  là quỹ đạo trạng thái tối ưu và λ ∗ ∈ B V [ t 0 , t f ] {\displaystyle \lambda ^{*}\in BV[t_{0},t_{f}]}  là quỹ đạo costate (phương trình trạng thái) tối ưu.Kết quả đã được áp dụng lần đầu tiên thành công cho bài toán thời gian cực tiểu trong đó điều khiển đầu vào bị hạn chế, nhưng nó cũng có thể hữu ích trong việc nghiên cứu các bài tóa hạn chế-trạng thái.Các điều kiện đặc biệt cho Hamilton cũng có thể được lấy ra từ đây. Khi thời gian cuối cùng  t f {\displaystyle t_{f}}  là cố định và Hamilton không phụ thuộc một cách rõ ràng về thời gian ( ∂ H ∂ t ≡ 0 ) {\displaystyle \left({\tfrac {\partial H}{\partial t}}\equiv 0\right)} , thì:và nếu thời gian cuối cùng là tự do, thì:Nhiều điều kiện tổng quát hơn về điều khiển tối ưu được đưa ra dưới đây.Khi thỏa mãn cùng một quỹ đạo, nguyên tắc cực tiểu Pontryagin là một điều kiện cần cho một tối ưu. Phương trình Hamilton-Jacobi-Bellman cung cấp một điều kiện cần và đủ cho một tối ưu, nhưng điều kiện này phải thỏa mãn đối với toàn bộ không gian trạng thái.