Trong
toán học,
ma trận là một mảng
chữ nhật[1]—các
số,
ký hiệu, hoặc
biểu thức, sắp xếp theo hàng và cột
[2][3]—mà mỗi ma trận tuân theo những quy tắc định trước. Từng ô trong ma trận được gọi là các phần tử hoặc mục. Ví dụ một ma trận có 2 hàng và 3 cộtKhi các ma trận có cùng kích thước (chúng có cùng số hàng và cùng số cột), thì có thể thực hiện phép cộng hoặc trừ hai ma trận trên các phần tử tương ứng của chúng. Tuy vậy, quy tắc áp dụng cho phép nhân ma trận chỉ có thể thực hiện được khi ma trận thứ nhất có số cột bằng số hàng của ma trận thứ hai. Ứng dụng chính của ma trận đó là phép biểu diễn các
biến đổi tuyến tính, tức là sự tổng quát hóa
hàm tuyến tính như f(x) = 4x. Ví dụ,
phép quay các
vectơ trong không gian ba chiều là một phép biến đổi tuyến tính mà có thể biểu diễn bằng một
ma trận quay R: nếu
v là
vectơ cột (ma trận chỉ có một cột) miêu tả
vị trí của một điểm trong không gian, tích của
Rv là một vec tơ cột miêu tả vị trí của điểm đó sau phép quay này. Tích của hai ma trận biến đổi là một ma trận biểu diễn
hợp của hai phép biến đổi tuyến tính. Một ứng dụng khác của ma trận đó là tìm nghiệm của các
hệ phương trình tuyến tính. Nếu là
ma trận vuông, có thể thu được một số tính chất của nó bằng cách tính
định thức của nó. Ví dụ, ma trận vuông là
ma trận khả nghịch nếu và chỉ nếu định thức của nó khác
không. Quan niệm
hình học của một phép biến đổi tuyến tính là nhận được (cùng với những thông tin khác) từ
trị riêng và vec tơ riêng của ma trận.Có thể thấy ứng dụng của lý thuyết ma trận trong hầu hết các lĩnh vực khoa học. Trong mỗi nhánh của
vật lý học, bao gồm
cơ học cổ điển,
quang học,
điện từ học,
cơ học lượng tử, và
điện động lực học lượng tử, chúng được sử dụng để nghiên cứu các hiện tượng vật lý, như chuyển động của
vật rắn. Trong
đồ họa máy tính, ma trận được sử dụng để chiếu một ảnh 3 chiều lên màn hình 2 chiều. Trong
lý thuyết xác suất và
thống kê, các
ma trận ngẫu nhiên được sử dụng để miêu tả tập hợp các xác suất; ví dụ, chúng dùng trong thuật toán
PageRank để xếp hạng các trang trong
lệnh tìm kiếm của
Google.
[4] Phép tính ma trận tổng quát hóa các khái niệm trong
giải tích như
đạo hàm và
hàm mũ đối với số chiều lớn hơn.Một nhánh chính của
giải tích số dành để phát triển các thuật toán hữu hiệu cho các tính toán ma trận, một chủ đề đã hàng trăm năm tuổi và là một lĩnh vực nghiên cứu rộng ngày nay.
Phương pháp khai triển ma trận làm đơn giản hóa các tính toán cả về mặt lý thuyết lẫn thực hành. Những thuật toán dựa trên những cấu trúc của các ma trận đặc biệt, như
ma trận thưa (sparse) và
ma trận gần chéo, giúp giải quyết những tính toán trong
phương pháp phần tử hữu hạn và những tính toán khác. Ma trận vô hạn xuất hiện trong
cơ học thiên thể và lý thuyết nguyên tử. Một ví dụ đơn giản về ma trận vô hạn là ma trận biểu diễn các toán tử đạo hàm, mà tác dụng đến
chuỗi Taylor của một
hàm số.