Trong toán học, bất đẳng thức hoán vị là:Cho hai dãy số thực ( x n {\displaystyle x_{n}} ),( y n {\displaystyle y_{n}} ),(n∈N) thỏa mãn: x 1 ≥ x 2 ≥ ⋯ ≥ x n {\displaystyle x_{1}\geq x_{2}\geq \cdots \geq x_{n}} và y 1 ≥ y 2 ≥ ⋯ ≥ y n {\displaystyle y_{1}\geq y_{2}\geq \cdots \geq y_{n}} Với mỗi hoán vị ( z 1 , z 2 , . . . , z n {\displaystyle z_{1},z_{2},...,z_{n}} ) của ( x 1 , x 2 , . . . , x n {\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n}} ) ta có: x 1 y 1 + x 2 y 2 + . . . + x n y n ≥ z 1 y 1 + z 2 y 2 + . . . + z n y n ≥ x n y 1 + x n − 1 y 2 + . . . + x 1 y n {\displaystyle x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+...+x_{n}y_{n}\geq z_{1}y_{1}+z_{2}y_{2}+...+z_{n}y_{n}\geq x_{n}y_{1}+x_{n-1}y_{2}+...+x_{1}y_{n}} Đẳng thức xảy ra khi một trong 2 dãy là "dừng", hoặc ( z 1 , z 2 , . . . , z n {\displaystyle z_{1},z_{2},...,z_{n}} ) đồng bậc với ( x 1 , x 2 , . . . , x n {\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n}} ) hoặc ( x n , . . . , x 2 , x 1 {\displaystyle x_{n},...,x_{2},x_{1}} )Hệ quả: Cho dãy số thực ( x n {\displaystyle x_{n}} ),(n∈N) và ( z 1 , z 2 , . . . , z n {\displaystyle z_{1},z_{2},...,z_{n}} ) là một hoán vị của ( x 1 , x 2 , . . . , x n {\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n}} ), ta có:1/ x 1 2 + x 2 2 + . . . + x n 2 ≥ x 1 z 1 + x 2 z 2 + . . . + x n z n {\displaystyle {x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2}+...+{x_{n}}^{2}\geq x_{1}z_{1}+x_{2}z_{2}+...+x_{n}z_{n}} 2/ z 1 x 1 + z 2 x 2 + . . . + z n x n ≥ n {\displaystyle {\frac {z_{1}}{x_{1}}}+{\frac {z_{2}}{x_{2}}}+...+{\frac {z_{n}}{x_{n}}}\geq n}